第六十四章 塞瓦定理、梅涅劳斯定理

看看时间，居然花了差不多十五分钟，秦克搓了搓冰冷僵硬的手指，然后用力地掐了下大腿，让自己的大脑保持着清醒，但身上的寒意越来越盛，偏呼出的气息越来越灼热，太阳穴也越来越胀痛，有种隐隐的晕眩感。

秦克能明显感觉自己的思维速度较之开考时又下降了不少。

不行，要再加快点！

秦克深吸口气，强逼自己集中精神，继续看向第二道附加题。

“附加题二：已知△ABC的三条边BC、CA、AB上各有一点D、E、F，且满足AD、BE、CF交于一点G，若△AGE，△CGD，△BGF的面积相等，求证：G是△ABC的重心。”

秦克松了口气，这题看起来较之刚才第一题倒是相对容易了些，主要知识点涉及到的是三角形五心中的“重心”，也就是三角形的三条中线相交的点。

这是高中生都会的知识点，想证明G是△ABC的重心，只需要证明D、E、F是△ABC的中点即可。

看似简单，但想证明这点极不容易，因为题目中只给出了面积相等的条件。

面积啊……

秦克立时试着用最擅长构造法加面积法来证明，但刚在脑海里思考了一会儿便发现不妥了。

以目前的条件，无论怎么构造，结合面积法，都只会让问题变得更复杂，哪怕写满整页纸，也未必能证明出来！那就真是纯属浪费时间和精力了！

这是出题人的陷阱！

可恶，这次出题的家伙有点水平啊……偏偏自己的状态不佳。

秦克再次用力掐了自己大腿两下，剧烈的疼痛终于让他的大脑清明了十几秒，他立时捕捉住一闪而逝的灵光，对哦，平面几何里不是有塞瓦定理、梅涅劳斯定理么？

尤其是解决三角形中的一点，以及三角形的三边中的点之间的关系，最适合使用的就是边元塞瓦定理和角元塞瓦定理！

虽然这两个定理生僻了点，但自己前天不是才给宁青筠讲解过么？

秦克迅速便想到了证明思路，提笔便画了个图，然后写道：

“证明：如图所示，设AF/FB=x，BD/CD=y，EC/EA=z，由边元塞瓦定理可得xyz=1。

对于△BFC和直线AGD，使用梅涅劳斯定理，可得FE/CG乘CD/DB乘BA/AF=1。

……

由上式可得x=y=z，由xyz=1可得，x=y=z=1，因此可得出结论，D、E、F是△ABC的中点，所以G是△ABC的重心。原题得证。”

写了三十多行的证明过程，秦克长长地舒了口气，这出题人明显是挖坑，专门针对的是自己这样熟悉运用各种解题技巧策略的考生，一时不慎就要误入岐途。

连他这样的老手也差点着了道儿，被惯用的解题技巧所惑、走个大弯路，使得这题的解法变得极为繁复艰辛，真要证明出来，怕得花上一个小时。

幸好自己迅速发现了其阴谋，直接运用塞瓦定理、梅涅劳斯定理来破题，极大地缩短了证明的过程和耗尽的时间。

——学委啊学委，前天我才给你讲过这塞瓦定理、梅涅劳斯定理，这题你可别中计，可是整整五十分哪！拿不到手多可惜！

不过秦克现在已没余力再去思考宁青筠的事了，他的头脑的晕晕沉沉感觉越来越严重，强打精神匆匆看了下两道附加题的答案，见没什么错漏，便将之折起来，当成垫纸压到正卷和草稿纸下面，开始攻打正卷里的十道省级难题。

这十道大题的难易程度同样是与序号无关的，秦克也没时间没心思逐一审题了，反正目标是满分，那就按顺序一举将所有题目全部攻克吧。

他直接从第一道开始解起。

“第1题：已知函数f(x)满足f(x^2)-f(x)=1，求f(x)。”

放在平时，这样的题目秦克看一眼就能看出解题步骤甚至是最终的答案，但这时他的状态变得极为糟糕，看着题目的字眼，竟有些重影了。

大脑更像是蒙上了一层水雾的镜子，模糊不清。

他勉力思考了将近三分钟，才想出用构造递推数列来解这题。

吃力地用发软的手捏紧笔，一笔一画地写完答案，秦克居然花了近七分钟，身上更是已不自觉地渗着虚汗。

不用对着镜子看，秦克也能猜到自己现在的脸色一定很不对劲，手更是冰冷得吓人，偏偏唇干舌燥，甚至有点胸闷想吐，难受得不行。

看看时间，距离开考已过去了近一个小时。

这还是秦克近月来第一次做数学试卷花了如此之长的时间，放在平时最佳状态下，这份试卷他怕已全部做完了。

不过秦克也没力气思考这些了，他裹紧身上的羽绒服，连续深呼吸几下，冰冷的空气透入胸腔，使得他能迅速强逼自己集中精神，然后继续一题一题地做下去。

但他的身体状态越来越糟糕，开始发困发倦，思考的时间越来越长，解题花的时间也越来越久。

接下来做题已不是智力与技巧的问题了，而将是毅力与体力的双重考验！

……

邓弘国是在省赛开考后才赶到省文体中心的，他昨天有个重要的会议没法子缺席，一直昨晚才结束，然后订了最近一趟的飞机，凌晨出发，清晨时才抵达远州机场。

下了飞机后他连早饭也没顾得上吃便直接坐上施存远的车赶了过来。

他这样不辞劳苦千里奔波，为的自然是想亲眼看看那个传闻中极为厉害的、叫秦克的天才学生。

现在国家集训队实在太缺这样的天才苗子了，哪怕有五成的可能，邓弘国也不愿错过。

省奥数组委会的几个领导听闻这样的大人物来了，哪会不过来作陪？邓弘国连连摆手，示意由施存远作陪即可，但盛情难却，还是不得不与这几个领导寒暄客套一番，耽搁了不少时间。

好不容易放下茶杯，离开办公室，邓弘国与施存远冒着凛冽的北风，走向考试大楼。

邓弘国揉揉眉心，借着寒风清醒大脑、驱散长途出差的疲惫，转头问旁边的施存远道：“存远兄，这次省赛的两道附加题，可是耗了我不少心血，你觉得怎样？”

施存远凝眉道：“很难，第一道涉及到哈密顿问题，比较冷门，估计没什么考生能做得出。第二道题，你是专门针对秦克的吧？”

听到老同学发现自己题目的妙处，邓弘国满是血丝的眼中顿时露出了得意之色：

“没错，第二题就是用来给秦克挖坑的。这小子对于各种奥数解题策略、技巧掌握得极好，运用这些技巧来解题已成了他的本能，我还专门给了如此美味的诱饵，他不上钩才怪。”